杨辉三角的规律 杨辉三角的规律总结图

杨辉三角的规律是什么？

杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1，从第三行开始，除去第一列和最后一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。

从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为：

（1)中第n行之前的数字之和。

（2)中第n行之前的数字之和。

（3)中第n行之前的数字之和。

（4)中第n行之前的数字之和。

应用

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数（性质 8），第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即：

以此类推又因为性质5：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：

因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。

杨辉三角有什么特点? 规律是什么?

1.三角形的两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加

2.杨辉三角具有对称性（对称美）,与首末两端“等距离 ”的两个数相等

3.每一行的第二个数就是这行的行数

4.所有行的第二个数构成等差数列

5.第n行包含n 1个数

6.2n-1行为奇数

7.行数为质数的数都能被行数整除

8.第n行数字的和为2 n从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩” 出发,向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线,射线上各数的和等于这个数

9.

杨辉三角有什么规律？

1 二项式定理与杨辉三角

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a b) 2 的展开式来探讨。

由上式得出： (a b) 2 2 2ab b 2 ＝a

此代数式的系数为： 1 2 1

则(a b) 3 3 3a 2b 3ab 2 b 3 的展开式是什么呢？答案为： a

由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1

但 4

似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a b)

的展开式。

展开式为： a 4 4a 3b 6a 2b2 4ab 3 b 4 4a 3b 6a 2b2 4ab 3 b 4

由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：

1 (11 0)

1 1 (11 1)

1 2 1 (11 2)

1 3 3 1 (11 3)

1 4 6 4 1 (11 4)

1 5 10 10 5 1 (11 5

)

1 6 15 20 15 6 1 (11 6)

杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10,10,5,1 ）,（1,6,15,20,15,6,1 ）, （1,7,21,35,35,21,7,1 ）所以： (a b) 7=a 7 7a 6 b 21a 5b 2 35a 4b 3 35a 3b 4 21a 2b 5 7ab 6 b 7。

由上式可以看出， (a b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2? n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2? n 次方。系数是

杨辉三角里的系数。

2 杨辉三角的幂的关系

首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：

1 ( 1 )

1 1 ( 1 1=

2 )

1 2 1 (1 2 1=4 )

1 3 3 1 (1 3 3 1=8 )

1 4 6 4 1 (1 4 6 4 1=16 )

1 5 10 10 5 1 (1 5 10 10 5 1=3

2 )

1 6 15 20 15 6 1 (1 6 15 20 15 6 1=64 )

? ?

相加得到的数是 1，2， 4，8，16，32， 64，? 刚好是 2 的 0，1，2，3，4，5， 6，? n 次幂，即杨辉三角第n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂

3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

(1)

1 (2) n=1

1 1 (3) n=2

1 2 1 (4) n=3

1 3 3 1 (5) n=4

1 4 6 4 1 (6) n=5

1 5 10 10 5 1 n=6

1 6 15 20 15 6 1

把斜行(1)中第7 行之前的数字相加得1 1 1 1 1 1 1=6

把斜行(2) 中第7 行之前的数字相加得1 2 3 4 5=15

把斜行(3) 中第7 行之前的数字相加得1 3 6 10=20

把斜行(4) 中第7 行之前的数字相加得1 4 10=15

把斜行(5) 中第7 行之前的数字相加得1 5=6

把斜行(6) 中第7 行之前的数字相加得 1

将上面得到的数字与杨辉三角中的第7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

由上面可得：杨辉三角中n 行中的第i 个数是i-1 中前n-1 个数之和，即第n 行的数分别为1、(1) 中第n 行

之前的数字之和、(2) 中第n 行之前的数字之和、(3) 中第n 行之前的数字之和、(4) 中第n 行之前的数字之和、?、(n-3) 中第n 行之前的数字之和、1。

总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：

1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。

3、第n 行的数字有n 1 项。

4、第n 行数字和为2(n-1) 。（2 的(n-1) 次方）

5 (a b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n 1) 行中的每一项。[1]

6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) ，这是组合数性质

介绍：

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

杨辉三角的规律总结是什么?

规律如下：

杨辉三角最本质的规律特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

简介：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。三角形是几何图案的基本图形。

杨辉三角的规律公式是什么?

杨辉三角的规律公式是：

1、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。

2、(a b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n 1) 行中的每一项。

3、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。

杨辉三角的历史：

我们应该把这个具有世界意义的重大贡献归功于贾宪和杨辉二人。贾宪采用得最早，但贾宪的著作可惜早已失传，全靠杨辉在《详解九章算法》里把这份珍贵的遗产保存了下来，并加以发扬光大，广泛应用。“开法作法本源” 图又叫作“乘方求廉图”，我们现在采取华罗庚教授的意见，称它为“杨辉三角”。

杨辉三角的规律是什么？

1、 每个数等于它上方两数之和。

2、 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3、 第n行的数字有n 1项。

4、第n行数字和为2^(n-1)（2的(n-1)次方）。

5、 (a b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n 1)行中的每一项。

6、 第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质。

扩展资料：

杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。

组合关系以及不同横行数字之间的联系与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式 展开式的系数列。

对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”。

结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和。

参考资料来源：百度百科-杨辉三角

杨辉三角的规律

6取0，C6取1，C6取2，C6取3……C6取6，一共7项。

C6取4的含义就是6*5*4*3/1*2*3*4，C6取3的含义是6*5*4/1*2*3.就是先从大的倒着乘以要取的位数，然后除以由1乘到要取的位数。特别的，Cn取0都是1.

举例，（a b)^10,

一共11项，分别是

C10取0，C10取2，C10取3……C10取10，

比如说C10取6，就是10*9*8*7*6*5/1*2*3*4*5*6.

明白了吧。

还有一个公式，举例说，C10取6，就等于C10取（10-6）=C10取4.

这样以后，计算可以方便些。

一共N项时，……你就自己推广吧。

还有一种笨方法，就是杨辉三角的“肩膀”原理。即下面的数等于它肩膀上两个数之和。

杨辉三角的规律以及推导公式是什么？

杨辉三角的规律以及推导公式是：

1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。

3、第n 行的数字有n 1 项。

4、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。

5 (a b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n 1) 行中的每一项。

6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。

数在杨辉三角中的出现次数

由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。

除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。